←  Древняя Греция

Исторический форум: история России, всемирная история

»

Измерения земли и мира в Древней Греции

Фотография andy4675 andy4675 25.02 2017

1. Мог ли Дикеарх Мессенский, зная высоту Пелиона и Афона, а также то, что с вершины Пелиона в ясный день горизонт видения находится на вершине горы Афон, вычислить радиус и периметр земли?

- Подробная схема, на которой углы АСВ искажён как можно меньше (насколько позволяет масштаб), и так, чтобы на схеме хоть как-то были видны точки соответствующие вершинам Афона и Пелиона:

DicaearchusMeasuringEarth.JPG

Ориентиры обозначенные на предыдущей схеме подробнее обхясняются на этой схеме:

DicaearchusMeasuringEarth1.JPG

2. Метод измерения окружности земли, применённый Эратосфеном

Ответить

Фотография ddd ddd 25.02 2017

зная расстояние и высоты конечно можно.
но надо еще быть уверенным что земля шар :)

может это лучше в историю науки?
Ответить

Фотография andy4675 andy4675 25.02 2017

зная расстояние и высоты конечно можно. но надо еще быть уверенным что земля шар

Так в том то и дело что не знали ни расстояний, ни высот. Приходилось вычислять. Не зная радиуса земли и расстояния от земли до солнца, Эратосфен, исходя из того, что лучи солнца падают на землю параллельно друг другу, высчитал поверхность малого шара, формируемого разницей угла падения тени находящихся на одном меридиане Александрии и Сиены солнечных часов имеющих радиусом высоту палки (гномона) от которой падала тень, потом высчитал, какой процент этот шар составляет от большого шара, формируемого гномоном тех же солнечных часов как его радиусом, и отсюда узнал, какой процент от окружности земли составляет дуга поверхности земли от Александрии до Сиены. Оказалось, что это - 1:50 часть. Зная, что расстояние от Александрии до Сиены равно 5000 стадий, Эратосфен вычислил, что окружность земли равна 5000х50=250000 стадий.
Ответить

Фотография ddd ddd 25.02 2017

46тыс км?
совсем немного отличается от реальных.

но я думал он вычислил кривизну поверхности нашего шарика - зная расстояние между двумя горами и их высоту.
и учитывая что линия горизонта ровно между ними.
Ответить

Фотография andy4675 andy4675 25.02 2017

Трудно сказать, какой длины был стадий Эратосфена. Если это был стадий в 158,6 метров, то найденная им окружность земли равнялась 39500 км. Причём он позже уточнил её, доведя во вторичных расчётах до 252 тысяч стадий, что почти равно 40 тысячам км, если учитывать стадий в 158,6 метров. Впрочем, физики считают, что учитывая, что Эратосфен сделал ряд допущений, на деле не совсем правильных (например, он счёл, что лучи солнца падают на землю параллельно друг к другу везде - то есть, в Сиене и в Александрии они падали параллельно друг к другу, а поскольку тени в Сиене не было, то угол падения лучей там являлся 90 градусов, и их линия там проходила через центр земли, формируя диаметр планеты). Поскольку лучи не падают абсолютно параллельно, то результат должен немного искажать действительность. Были у Эратосфена в его вычислениях и другие допущения.
Ответить

Фотография andy4675 andy4675 25.02 2017

но я думал он вычислил кривизну поверхности нашего шарика - зная расстояние между двумя горами и их высоту. и учитывая что линия горизонта ровно между ними.

Нет. В те времена это было невозможно. А линия между двумя пиками гор не будет ровно между ними относительно треугольника формируемого пиками этих гор с центром земли (то есть с одинаковыми прилегающими углами), если горы не имеют одинаковую высоту. На моих схемках касаемых Дикеарха, в стартпосте, это очевидно.
Ответить

Фотография ddd ddd 25.02 2017

Да, высоту горы над морем так просто не узнать.
Ответить

Фотография andy4675 andy4675 25.02 2017

На самом деле, это как раз не проблема, если отмерить расстояние к вершине горы в шагах от некоторого пункта, откуда эта вершина видна. Если принять, что было визуально (особенно просто это было сделать при помощи специального инструмента - диоптры) вычислить углы треугольника, формируемого точками вершины горы (точка А), центра горы (точка В) - этот центр будет располагаться на уровне моря (то есть на том уровне, от которого надо измерять высоту гор), и места откуда углы замеряются (точка С), и откуда мы отмерили расстояние до вершины горы в шагах. Учитывая, что в таком треугольнике угол АВС будет прямым, а также то, что мы визуально измерили угол от точки, откуда производим измерение (точка С) до вершины горы, то есть угол ВАС в том же треугольнике, мы получаем и третий угол, зная, что сумма углов треугольника равна 180 градусов, мы вычислим и третий угол - угол АСВ.

 

Далее, если не знать о существовании синусов и косинусов, то измерить высоту горы (отрезок АВ - сторону треугольника АВС) можно хотя бы топорно - то есть измерениями (а не математическими формулами): выявив на схеме треугольника АВС при помощи линейки, чему равно отношение гипотенузы АС (это отмеренное нами в шагах расстояние от точки А до точки С) к катету АВ (то есть расстоянию от уровня моря до вершины горы - именно то, что мы ищем), просто разделить отмеренное нами расстояние АС (то есть гипотенузу в треугольнике АВС) на полученное при помощи измерения линейкой отношение сторон АВ:АС.

 

То есть АС:АСхАВ=АВ, или АС:(АС:АВ)=АВ, и поскольку АС и АС:АВ нам известны, то поставив их в формуле, мы получим: АВ=10000:10=1000 метров.

 

Можно было бы и другими способами произвести и измерения, и вычисления.

Ответить

Фотография ddd ddd 25.02 2017

чтобы выяснить высоту горы (то есть одного из катетов), надо знать хоть одну длину.

это либо гипотенуза, т.е. расстояние от вершины горы до наблюдателя у моря, которую никак не могли измерить.
либо расстояние от точки в центре основания горы (строго под наблюдаемой вершиной, на уровне моря) до наблюдателя у моря.
и это расстояние тоже я не вижу как можно измерить той техникой.
Ответить

Фотография andy4675 andy4675 25.02 2017

Теорема синусов, которой решается задача, когда вам известны все углы треугольника и одна его сторона, тогда тоже была неизвестна.

 

Решение:

 

1. Первый метод. Каким образом можно посчитать линейкой высоту горы - то есть катет указанного треугольника - я вам выше объяснил. Если вы знаете углы треугольника и одну его сторону, то начертив на бумаге треугольник подобный ему, вы можете при помощи линейки измерить отношение сторон.

 

2. Второй метод. Также могу ответственно сказать, что отношение катета к гипотенузе равно отношению угла противолежащего катету, углу противолежащему гипотенузе (то есть прямому углу). Зная все углы треугольника, вы вычислите отношение сторон. То есть:

 

катет а = гипотенуза умножить на угол противолежащий стороне а и разделить на угол противолежащий гипотенузе (прямой угол)

 

катет б = гипотенуза умножить на угол противолежащий стороне б и разделить на угол противолежащий гипотенузе (прямой угол)

 

Проверяем: тезис: если у прямоугольного треугольника АВС угол а прямой, а углы и и с равны 45 градусам каждый, то имея один из катетов, катет АВ, равным 5 сантиметрам, имеем:

 

катет АВ = гипотенуза ВС умножить на угол противолежащий стороне АВ (этот угол равен 45 градусов) и разделить на угол противолежащий гипотенузе (это прямой угол треугольника, и он равен 90 градусам)

 

Итого имеем:

 

АВ=ВСх45:90=ВС:2

 

Зная, что катет АВ равен 5, получаем:

 

АВ=ВС:2

 

5=ВС:2

 

ВС=5х2=10

 

Элементарщина...

 

Если вычислявший не знал об этом правиле, он всё равно должен был понимать (а не знать исходя из уровня геометрии "Начал" Евклида он не мог), что соотношение сторон в подобных треугольниках должно быть одинаковым. То есть, нарисовав на бумаге треугольник, подобный треугольнику АВС (стороны которого соединяют вершину Пелиона, центр горы Пелион на уровне моря и точку на уровне моря у подножия Пелиона), или подобный треугольнику, соединяющему своими сторонами вершину Пелиона, точку на берегу моря и точку на уровне моря в основании Пелиона, или треугольнику соединяющему точку на берегу моря с вершиной Пелиона и с центром Пелиона, расположенным на уровне моря, он мог вычислить (используя линейку) на любом из этих начерченных малых треугольников отношение сторон. Зная одну сторону, вычисляются после этого все остальные. Зная одну любую сторону одного из больших треугольников, и зная вычисленные на соответствующем малом треугольнике отношения сторон, вы просто должны уметь умножать и делить. Ничего более этого.

 

Расстояние от основания горы на уровне моря, которую мы принимаем за точку отсчёта, до вершины горы, если уклон горы более-менее ровный, измеряется НОЖКАМИ. Поднимаетесь на гору, отмеряя расстояние землемером. Вот так:

 

http://www.vaminam.r...r/zem-retro.jpg

 

Ошибка при ровном уклоне горы будет стремиться к нолю. Если же поверхность у горы неровная, то ошибка будет расти. Но всё равно она будет в рамках допустимого для невысоких греческих гор.

Ответить

Фотография Gundir Gundir 25.02 2017

это либо гипотенуза, т.е. расстояние от вершины горы до наблюдателя у моря, которую никак не могли измерить.

Что нибудь типа артиллерийской бусоли.

Ответить

Фотография andy4675 andy4675 25.02 2017

Горизонт не формирует с двумя радиусом круга угла в 90 градусов:

 

дикеарх.JPG

 

Чем уже угол между двумя радиусами круга в треугольнике формируемом этими радиусами и горизонтом, тем больше будет угол формируемый горизонтом и каждым из этих радиусов приближаться к 90 градусам. Но никогда не будет равен им.

Ответить

Фотография andy4675 andy4675 25.02 2017

может это лучше в историю науки?

Как вам угодно. Но необязательно. Потому что и тут эта тема вполне к месту.

Ответить

Фотография ddd ddd 25.02 2017

Теорема синусов, которой решается задача, когда вам известны все углы треугольника и одна его сторона, тогда тоже была неизвестна.

конечно неизвестна
но вы сами предложили возможное решение - нарисовать произвольный треугольник с такими углами и измерить соотношение двух сторон.
тут геометрия не нужна.

а вообще теорема пифагора уже была, так почему бы не быть теореме синусов
Ответить

Фотография andy4675 andy4675 25.02 2017

а вообще теорема пифагора уже была, так почему бы не быть теореме синусов

 

 

Потому что теорема Пифагора отмечена у Евклида, а теорема синусов - нет.

 

 

конечно неизвестна

 

Непонятно. То вы говорите, что почему бы теореме синусов не быть известной древним грекам, то говорите, что она им была "конечно неизвестна". Определитесь.

 

 

но вы сами предложили возможное решение - нарисовать произвольный треугольник с такими углами и измерить соотношение двух сторон. тут геометрия не нужна.

Я и не сказал, что нужна. Я сказал, что даже таким вот "топорным" методом тоже можно было высчитать длину сторон большого треугольника - а значит и высоту горы, которую мы хотим найти.

Ответить

Фотография ddd ddd 25.02 2017

согласен, можно.
но для этого надо как-то найти расстояние от наблюдателя у моря до точки внутри основания горы.
Ответить

Фотография andy4675 andy4675 25.02 2017

Не надо. Уже пояснял. Повторяю некоторые методы. ВСЕ углы треугольника нам известны (потому что мы их отмерили диоптрой, а угол формируемый вершиной горы, её центром расположенным на уровне моря и точкой откуда гора начинается, и откуда отмеривается длинна уклона горы, принимаем как прямой). Вот некоторые методы:

 

1. Можно отмерить склон горы при помощи землемера. После этого на схеме нарисовать подобный треугольник, и выявить на нём пропорции сторон друг к другу. Узнав пропорции, достаточно сделать простые операции умножения и деления, чтобы выяснить длинну ВСЕХ сторон треугольника, связывающего пик горы, её центр, расположенный на уровне моря, и точку, откуда отмеряется уклон горы (тоже расположенную на уровне моря).

 

2. Можно отмерить расстояние от некой точки на берегу моря ДО того места где начинается гора (это место тоже должно быть приблизительно на уровне моря). Это будет одна сторона треугольника, связывающего вершину горы, указанную точку на берегу моря, и указанную точку, от которой гора начинает подниматься вверх. Если указанным методом "линейки" вымерить пропорции сторон этого треугольника, то получится, что мы С ТОЧНОСТЬЮ, и без применения землемера выявили длину всех сторон этого треугольника - в том числе ту сторону, которая является гипотенузой из примера номер 1.

 

Вот поясняющая схема:

 

дикеарх1.JPG

 

Посчитать высоту горы можно и другими методами. Столь же "топорными", или попытаться найти доступный древним грекам более научный, то есть облагороженный способ расчёта двух неизвестных сторон треугольника по одной известной стороне и трём известным углам.

 

Опять непонятно?

Ответить

Фотография ddd ddd 25.02 2017

1. Можно отмерить склон горы при помощи землемера. После этого на схеме нарисовать подобный треугольник, и выявить на нём пропорции сторон друг к другу. Узнав пропорции, достаточно сделать простые операции умножения и деления, чтобы выяснить длинну ВСЕХ сторон треугольника, связывающего пик горы, её центр, расположенный на уровне моря, и точку, откуда отмеряется уклон горы (тоже расположенную на уровне моря).

ну где же вы найдете такую "гору", такую ровную что эти данные будут иметь смысл?
Ответить

Фотография andy4675 andy4675 25.02 2017

В древности все подобного рода практические измерения включали в себя некоторую дозу неточности по подобным причинам. Если исходить из того, что у вас имеется некоторая ровная поверхность на уровне моря на расстоянии видимости от пика горы, которую вы можете измерить, вы с её помощью можете создать треугольник с пиком горы, и высчитать все его стороны. И далее по той схеме которую я вам описал для нахождения высоты горы. Чем точнее будут ваши практические измерения землемером, тем точнее будут и результаты. А так - да. Ошибка всегда попадала в расчёты от подобного рода факторов. В принципе, не лишены некоторой неточности из-за подобных же соображений и наши современные расчёты. Ошибка в измерениях, даже самая маленькая, всегда есть. Всегда есть округление, например. Нет в природе "ровно 5 сантиметров длинны". Там будет не ровно 5, а чуть-чуть больше или меньше. Всегда.

Ответить

Фотография Gundir Gundir 25.02 2017

ну где же вы найдете такую "гору", такую ровную что эти данные будут иметь смысл?

Второй вариант ни к черту не годится. А первым я пользовался практически, когда топопланы в разведках рисовал

Ответить